Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład

Rozkład F

Niech zmienne \(x\) i \(y\) mają rozkłady \(\chi ^{2}\) o odpowiednio \(f_{1}\) i \(f_{2}\) stopniach swobody. Zmienna

\( F=\frac{\frac{1}{f_{1}} x}{\frac{1}{f_{2}}y}=\frac{f_{2}x}{f_{1}y} \)

posiada rozkład \(F\) z \(f_{1}\) i \(f_{2}\) stopniami swobody o wartości oczekiwanej \(E(f)=\frac{f_{2}}{(f_{2}-2)}\)

\( f(F)=\left( \frac{f_{1}}{f_{2}}\right) ^{\frac{f_{1}}{2}}\frac{\Gamma \left( \frac{1}{2}\left( f_{1}+f_{2}\right) \right) }{\Gamma \left( \frac{f_{1}}{2} \right) \Gamma \left( \frac{f_{2}}{2}\right) }F^{\frac{f_{2}}{2}-1}\left( 1+ \frac{f_{1}}{f_{2}}F\right) ^{-\frac{f_{1}+f_{2}}{2}} \)

Rozkład \(F\) Fishera dla przykładowych liczb stopni swobody \(f_1\) i \(f_2\).

Dla próby z rozkładu normalnego wielkość

\( \chi ^{2}=\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}\frac{(x_{i}-\overline{x})^{2}}{ \sigma ^{2}} \)

podlega rozkładowi \(\chi ^{2}\) o \(f=N-1\) stopniach swobody. Jeśli dwie takie próby zostały pobrane z jednej populacji, to iloraz

\( F=\frac{\left( N_{y}-1\right) \underset{i=1}{\overset{N}{\sum (}}x_{i}- \overline{x})^{2}}{\left( N_{x}-1\right) \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }} (y_{i}-\overline{y})^{2}} \)

podlega rozkładowi \(F\) o \(f_{y}\) i \(f_{x}\) stopniach swobody.

Analiza wariancji (ANalysis of VAriance — ANOVA)

\(N\) obserwacji \(\{x_{i}\}_{i=1..N}\):

podzielonych na \(k\) grup wedle jakiegoś kryterium: \(N=n_{1}+n_{2}+...+n_{k}\):

Średnie wewnątrz grup: \( \overline{x}_{i}=\frac{1}{n_{i}}\underset{j=1}{\overset{n_{i}}{\sum }}x_{ij} \)

Średnia globalna \(\overline{x}\):

Odchylenia poszczególnych elementów od średnich grup \(x_{ij} - \overline{x_i}\) oraz odchylenia średnich grup pd średniej globalnej \(\overline{x_i} - \overline{x}\):

Rozkład wariancji

Rozważmy sumę kwadratów odchyleń wszystkich elementów próby od wartości średniej całej próby

\( \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}\underset{j=1}{\overset{n_{i}}{\sum }} (x_{ij}-\overline{x})^{2}=\underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}\underset{j=1}{ \overset{n_{i}}{\sum }}(x_{ij}-\overline{x}_{i}+\overline{x}_{i}-\overline{x} )^{2}= \)

\( \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}\underset{j=1}{\overset{n_{i}}{\sum }} (x_{ij}-\overline{x}_{i})^{2}+\underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}\underset{j=1 }{\overset{n_{i}}{\sum }}(\overline{x}_{i}-\overline{x})^{2}+2\underset{i=1}{ \overset{k}{\sum }}\underset{j=1}{\overset{n_{i}}{\sum }}(x_{ij}-\overline{x} _{i})(\overline{x}_{i}-\overline{x}) \)

Ponieważ \( \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}\underset{j=1}{\overset{n_{i}}{\sum }} (x_{ij}-\overline{x}_{i})(\overline{x}_{i}-\overline{x})=\underset{i=1}{ \overset{k}{\sum }}(\overline{x}_{i}-\overline{x})\underset{j=1}{\overset{ n_{i}}{\sum }}(x_{ij}-\overline{x}_{i})=0 \),

oraz \( \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}\underset{j=1}{\overset{n_{i}}{\sum }}( \overline{x}_{i}-\overline{x})^{2}=\underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}n_{i}( \overline{x}_{i}-\overline{x})^2 \), dostajemy

\( \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}\underset{j=1}{\overset{n_{i}}{\sum }} (x_{ij}-\overline{x})^{2}=\underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}\underset{j=1 }{\overset{n_{i}}{\sum }}(x_{ij}-\overline{x}_{i})^{2}+\underset{i=1}{ \overset{k}{\sum }}n_{i}(\overline{x}_{i}-\overline{x} )^{2} \)

inaczej

\(\underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}\underset{j=1}{\overset{n_{i}}{\sum }} (x_{ij}-\overline{x})^{2} = s_{wew}^{2}+s_{pom}^{2} \)

Jeśli wszystkie pomiary pochodzą z tej samej populacji o wariancji \( \sigma ^{2}\), to

\( \frac{s^2_{wew}}{\sigma ^{2}}\ i\ \ \frac{s^2_{pom}}{\sigma ^{2}} \)

podlegają rozkładom \(\chi ^{2}\) o odpowiednio \(n-k\) i \(k-1\) stopniach swobody. Iloraz

\( \frac{\left( n-k\right) s^2_{pom}}{\left( k-1\right) s^2_{wew}} \)

podlega rozkładowi \(F\) o \(k-1\) i \(n-k\) stopniach swobody.

Wyrażenia \( \frac{1}{n-k}\underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}\underset{j=1}{\overset{n_{i} }{\sum }}(x_{ij}-\overline{x}_{i})^{2}\) oraz \(\frac{1}{k-1}\underset{i=1}{ \overset{k}{\sum }}n_{i}(\overline{x}_{i}-\overline{x})^{2} \), czyli \( \frac{s_{wew}^{2}}{n-k} \) oraz \(\frac{s_{pom}^{2}}{k-1} \), są nieobciążonymi estymatami wariancji populacji.

Testy par a posteriori

Testowanie a posteriori (inaczej post hoc) -> porównania wielokrotne