Systemy liniowe niezmiennicze w czasie (LTI)

AS/ Systemy liniowe niezmiennicze w czasie (LTI)

System opisać można jako "czarną skrzynkę", generującą sygnał (wyjście) w odpowiedzi na stan wejścia:

wejście \(\longrightarrow\) SYSTEM \(\longrightarrow\) wyjście (czyli mierzony sygnał)

W takim podejściu system będzie równoważny transformacji (przekształceniu) sygnału. Nie tracimy przy tym na ogólności, gdyż rzadko interesują nas sygnały generowane przez systemy całkowicie izolowane, czyli pozbawione wejścia. W skrajnym przypadku możemy założyć, że wejściem systemu jest szum (jak np. w modelu AR).

Droga do matematycznego opisu rzeczywistości prowadzi przez modele oparte na pewnych upraszczających je założeniach. W przypadku teorii systemów szczególną rolę spełniają dwa założenia: liniowości^[1] i niezmienniczości w czasie^[2]. Na tych dwóch założeniach opiera się cała klasyczna analiza sygnałów, z której wywodzą się pojęcia widma mocy, teoria filtrów i wiele innych fundamentalnych idei.

Matematycznie system traktować będziemy jako transformację (operator), przekształcającą sygnał wejściowy \(x(t)\) w \(y(t)\):

\(x \longrightarrow\) \(T\{\cdot\}\) \(\longrightarrow T\{x\} = y\)

Będziemy się zajmować klasą systemów liniowych niezmienniczych w czasie (ang. Linear Time-Invariant, LTI), działających na sygnałach dyskretnych, czyli:

\(\displaystyle x[n] \longrightarrow T\{\cdot\} \longrightarrow T\{x[n]\} = y[n]\)

System \(T\) jest liniowy, gdy:

\( T\{a x_1+b x_2\} = a T\{x_1\} + b T\{x_2\} = a y_1 + b y_2 \),

a niezmienniczy w czasie, gdy

\( T\{ x[n] \} = y[n] \Rightarrow T\{ x[n-n_0]\} = y[n-n_0] \).

Rozważmy działanie systemu na sekwencję jednostkową

\( \delta[n]=\left\{ \begin{matrix} 1 \;\mathrm{dla} \; n=0\\ 0 \;\mathrm{dla} \; n\ne 0 \end{matrix} \right . \)

Niech \(h_k[n]\) - odpowiedź systemu \(T\) na impuls jednostkowy w punkcie \(k\):

\( h_k[n] = T\{\delta[n-k]\} \)

Każdy dyskretny sygnał \(x\) możemy przedstawić jako ważoną sumę sekwencji jednostkowych:

\( x[n] = \sum_k x[k] \delta[n-k] \)

Gdzie \(x[k]\), czyli wartość sygnału \(x\) w punkcie \(k\), przyjmuje rolę liczby mnożącej funkcje \(\delta[n-k]\). Jeśli \(T\) jest systemem liniowym, to

\( \displaystyle y[n] = T\left\{ \sum_k x[k]\delta[n-k] \right\} =\sum_k x[k] T\left\{\delta[n-k]\right\} = \sum_k x[k] h_k[n] \)

bo system jest liniowy, a \(x[k]\) to liczba.

Jeśli system jest ponadto niezmienniczy w czasie, to \(h_k[n]\), czyli odpowiedź na impuls w punkcie \(k\), jest przesuniętą o \(k\) odpowiedzią na impuls w zerze.

\(h_k[n] = T\{\delta[n-k]\} = h[n-k]\).

Wtedy

gdzie \(*\) oznacza splot^[3]

Otrzymaliśmy w ten sposób pierwszy ważny wynik:

Znając odpowiedź systemu liniowego niezmienniczego w czasie na sekwencję jednostkową, możemy obliczyć jego odpowiedź na dowolny sygnał. Tak więc funkcja odpowiedzi impulsowej systemu LTI stanowi jego kompletny opis.

Splot i przyczynowość

Powyższe sumy przebiegają po całym zakresie \(k\)

\( \displaystyle y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} h[k] x[n-k] \)

Dla systemu przyczynowego, y[n] może zależeć wyłącznie od bieżącej i poprzednich wartości wejścia x[n], nie od przyszłych. Rozpisując explicite dostajemy

\( \displaystyle y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} h[k] x[n-k] = \sum_{k=-\infty}^{-1} h[k] x[n-k] + \sum_{k=0}^{\infty} h[k] x[n-k] \)

Dla zapewnienia przyczynowości kładziemy h[k] = 0 dla k<0, i zostaje tylko drugi człon

\( \displaystyle y[n]= \sum_{k=0}^{\infty} h[k] x[n-k] \)

Własności systemów LTI

Następnym krokiem w badaniu własności matematycznych przekształceń bywa poszukiwanie punktów stałych, czyli niezmienników. Rozważmy przekształcenie LTI wykładniczej funkcji zespolonej^[4] \(e^{i\omega n}\); z (1)

Przed znak sumy wyciągnęliśmy podlegającą transformacji zespoloną funkcję wykładniczą \(e^{i\omega n}\). Wartość sumy \(\sum_k h[k]\,e^{-i\omega k}\) zależy od funkcji odpowiedzi impulsowej systemu \(h[k]\) i częstości \(\omega\)^[5]. Tak więc odpowiedź systemu LTI na funkcję \(e^{i\omega n}\) polega na wymnożeniu tej funkcji przez liczbę, czyli, inaczej mówiąc, funkcje wykładnicze o urojonym wykładniku są wektorami (funkcjami) własnymi przekształceń LTI, a odpowiadające im wartości własne to \(\sum_k h[k]\,e^{-i\omega k}\). Inaczej mówiąc, system LTI nie zmienia częstości składowej sygnału, tylko mnoży ją przez liczbę zespoloną, potencjalnie zmieniając jej amplitudę i fazę

Gdybyśmy potrafili dowolną funkcję rozłożyć na sumę zespolonych funkcji wykładniczych, np. w postaci \( s[n] = \sum_k a_k e^{i \omega_k n}, \) działanie systemów LTI ograniczałoby się do łatwo obliczalnych modyfikacji współczynników \(a_k\). Jak pokazaliśmy wcześniej, rozkłady takie realizują szereg i transformata Fouriera.

⬅ ⬆ ⮕