Wstep

Spis treści

1 ⬆ Próbkowanie sygnałów analogowych
2 Aliasing i częstość Nyquista
3 Sygnał dyskretny jako wektor
4 Liczby zespolone
5 Szereg Fouriera
- 5.1 Przykład: szereg Fouriera dla prostokąta
6 Przekształcenie Fouriera

⬆ Próbkowanie sygnałów analogowych

Sygnały zapisujemy, przetwarzamy i analizujemy w postaci ciągów liczb. Przejście od sygnału ciągłego do cyfrowego odbywa się przez proces próbkowania, czyli zapisywania kolejnych amplitud sygnału w ustalonych, stałych odstępach czasu, omawiany wcześniej na TIiK.

102, 195, 80, 16, 147, 178

Żeby odtworzyć fizyczne własności sygnału, czyli narysować zapisane wartości próbek w odpowiedniej skali, musimy znać częstość próbkowania i stałą kalibracji.

Wyrażana w hercach (Hz) częstość próbkowania (ang. sampling frequency, \(f_s\)) to liczba próbek na sekundę. Jest ona odwrotnością odstępu w czasie między kolejnymi próbkami (\(\Delta t\)):

\(f_s = \dfrac{1}{\Delta t}\)

Stała kalibracji to współczynnik, przez który mnożymy zapisane liczby, żeby otrzymać wartości w jednostkach fizycznych, na przykład mikrowoltach.

Oczywiście musimy też wiedzieć, w jakim formacie zapisano na dysku liczby (formaty omawialiśmy na wykładzie o binarnych reprezentacjach liczb), oraz, w przypadku sygnałów wielozmiennych o jednolitym próbkowaniu, znać liczbę kanałów. Taka dodatkowa informacja (metainformacja) jest konieczna do poprawnego wyświetlenia danych z pliku, w którym zapisano dane wielokanałowe, jak np. kilka odprowadzeń EEG lub dane kilku spółek giełdowych, próbkowane i zapisywane w jednakowych odstępach czasu.

Informacje o częstości próbkowania, stałej kalibracji, liczbie i nazwach kanałów itp. to metainformacja, klucz do poprawnego odczytu i intepretacji zapisanych liczb.

Zawartość pliku "wakeEEG.xml", zawierającego metainformację określającą sposób wyświetlania i opisu liczb zawartych w pliku "wakeEEG.bin" według formatu opracowanego na WF UW w programie Svarog:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-8" standalone="no"?>
<rs:rawSignal xmlns:rs="http://signalml.org/rawsignal">
  <rs:exportFileName>moto128.bin</rs:exportFileName>
  <rs:sourceFileName>durka_moto3.bin</rs:sourceFileName>
  <rs:sourceFileFormat>
    <rs:rawSignalInfo/>
  </rs:sourceFileFormat>
  <rs:samplingFrequency>128.0</rs:samplingFrequency>
  <rs:channelCount>20</rs:channelCount>
  <rs:sampleCount>20480</rs:sampleCount>
  <rs:sampleType>FLOAT</rs:sampleType>
  <rs:byteOrder>LITTLE_ENDIAN</rs:byteOrder>
  <rs:pageSize>20.0</rs:pageSize>
  <rs:blocksPerPage>1</rs:blocksPerPage>
  <rs:eegSystemName>
    <rs:eegSystemSymbol>EEG 10_20 Cap19</rs:eegSystemSymbol>
    <rs:eegSystemType>adults</rs:eegSystemType>
  </rs:eegSystemName>
  <rs:channelLabels>
    <rs:label>Fp1</rs:label>
    <rs:label>Fp2</rs:label>
    <rs:label>F7</rs:label>
    <rs:label>F3</rs:label>
    <rs:label>Fz</rs:label>
    <rs:label>F4</rs:label>
    <rs:label>F8</rs:label>
    <rs:label>T7</rs:label>
    <rs:label>C3</rs:label>
    <rs:label>Cz</rs:label>
    <rs:label>C4</rs:label>
    <rs:label>T8</rs:label>
    <rs:label>P7</rs:label>
    <rs:label>P3</rs:label>
    <rs:label>Pz</rs:label>
    <rs:label>P4</rs:label>
    <rs:label>P8</rs:label>
    <rs:label>O1</rs:label>
    <rs:label>O2</rs:label>
    <rs:label>FCz</rs:label>
  </rs:channelLabels>
  <rs:exportDate>2013-03-20T12:59:21</rs:exportDate>
  <rs:calibrationGain>
    <rs:calibrationParam>0.01</rs:calibrationParam>
    <rs:calibrationParam>0.01</rs:calibrationParam>
    <rs:calibrationParam>0.01</rs:calibrationParam>
    <rs:calibrationParam>0.01</rs:calibrationParam>
    <rs:calibrationParam>0.01</rs:calibrationParam>
    <rs:calibrationParam>0.01</rs:calibrationParam>
    <rs:calibrationParam>0.01</rs:calibrationParam>
    <rs:calibrationParam>0.01</rs:calibrationParam>
    <rs:calibrationParam>0.01</rs:calibrationParam>
    <rs:calibrationParam>0.01</rs:calibrationParam>
    <rs:calibrationParam>0.01</rs:calibrationParam>
    <rs:calibrationParam>0.01</rs:calibrationParam>
    <rs:calibrationParam>0.01</rs:calibrationParam>
    <rs:calibrationParam>0.01</rs:calibrationParam>
    <rs:calibrationParam>0.01</rs:calibrationParam>
    <rs:calibrationParam>0.01</rs:calibrationParam>
    <rs:calibrationParam>0.01</rs:calibrationParam>
    <rs:calibrationParam>0.01</rs:calibrationParam>
    <rs:calibrationParam>0.01</rs:calibrationParam>
    <rs:calibrationParam>0.01</rs:calibrationParam>
  </rs:calibrationGain>
  <rs:calibrationOffset>
    <rs:calibrationParam>0.1</rs:calibrationParam>
    <rs:calibrationParam>0.1</rs:calibrationParam>
    <rs:calibrationParam>0.1</rs:calibrationParam>
    <rs:calibrationParam>0.1</rs:calibrationParam>
    <rs:calibrationParam>0.1</rs:calibrationParam>
    <rs:calibrationParam>0.1</rs:calibrationParam>
    <rs:calibrationParam>0.1</rs:calibrationParam>
    <rs:calibrationParam>0.1</rs:calibrationParam>
    <rs:calibrationParam>0.1</rs:calibrationParam>
    <rs:calibrationParam>0.1</rs:calibrationParam>
    <rs:calibrationParam>0.1</rs:calibrationParam>
    <rs:calibrationParam>0.1</rs:calibrationParam>
    <rs:calibrationParam>0.1</rs:calibrationParam>
    <rs:calibrationParam>0.1</rs:calibrationParam>
    <rs:calibrationParam>0.1</rs:calibrationParam>
    <rs:calibrationParam>0.1</rs:calibrationParam>
    <rs:calibrationParam>0.1</rs:calibrationParam>
    <rs:calibrationParam>0.1</rs:calibrationParam>
    <rs:calibrationParam>0.1</rs:calibrationParam>
    <rs:calibrationParam>0.1</rs:calibrationParam>
  </rs:calibrationOffset>
</rs:rawSignal>

Aliasing i częstość Nyquista

W procesie próbkowania kluczową rolę odgrywa twierdzenie o próbkowaniu (inaczej twierdzenie Nyquista-Shannona, czasem w skrócie twierdzenie Nyquista). Mówi ono, że sygnał ciągły możemy odtworzyć za zapisanych próbek, jeśli częstość próbkowania \(f_s\) była wyższa niż dwukrotność najwyższej z występujących w sygnale częstości \(f_{max}\), nazywana częstością Nyquista \(f_N\):

\( f_s = \dfrac{1}{\Delta t} \gt 2* f_{max} = f_N\)

Jeśli częstość próbkowania nie była wystarczająco wysoka, nie tylko stracimy informację o zmianach amplitudy sygnału "pomiędzy próbkami", ale dojdzie też do zafałszowania sygnału w niższych częstościach, które z pozoru nie powinny być zaburzone. Efekt ten jest bliżej omówiony w rozdziale Aliasing.

Sygnał dyskretny jako wektor

102, 195,  80,  16, 147, 178

Skoro sygnał to po prostu ciąg liczb, możemy go potraktować jak wektor. Na płaszczyźnie wektor to para współrzędnych (x, y), w przestrzeni trójwymiarowej trójka liczby (x, y, z), które wyobrażamy sobie jako strzałkę wiodącą od punktu (0, 0, 0) do (x, y, z). Sygnał składający się z pięciu punktów będzie wektorem w przestrzeni pięciowymiarowej, więc intuicja "strzałki" dla większości z nas przestaje być użyteczna. Pomimo tego, możemy wciąż korzystać z użytecznych pojęć z dziedziny algebry wektorów, jak ortogonalność czy iloczyn skalarny.

Iloczyn skalarny

Iloczyn skalarny przyjmiemy jako miarę podobieństwa dwóch sygnałów. Obliczać go będziemy tak samo jak dla wektorów — przypomnijmy: niech \(\mathbf{x} = [x_1, x_2, x_3]\), i \(\mathbf{y} = [y_1, y_2, y_3]\); iloczyn skalarny tych wektorów oznaczamy \(\mathbf x \cdot \mathbf y\) (zarówno wytłuszczenie symboli wektorów, jak i symbol mnożenia/ilocznu skalarnego "\(\cdot\)", będziemy dalej pomijać):

\(\displaystyle \mathbf a \cdot \mathbf b = \sum_{i=1}^3 x_i y_i = x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3\)

A jak to będzie wyglądać dla sygnałów złożonych z więcej niż trzech punktów? Weźmy

\(x=[-2, -2, 2, -1, -2]\)

\(y=[-1, -1, 1, 1, 0]\)

Zamiast strzałek w pięciowymiarowej przestrzeni, łatwiej wizualizować na wykresach wartości kolejnych próbek:

\(x\cdot y = [-2, -2, 2, -1, -2] \cdot [-1, -1, 1, 1, 0] = 2+2+2-1+0 = 5\)

Ortogonalność

Kolejnym użytecznym pojęciem, które możemy zaczerpnąć bezpośrednio z algebry wektorów, jest ortogonalność. Dwa wektory (sygnały) są do siebie ortogonalne, jeśli ich iloczyn skalarny wynosi zero, jak poniżej:

W przypadku sygnału złożonego z 16 punktów, możemy ten fakt sprawdzić obliczając iloczyn skalarny punkt po punkcie, albo też zauważając prawidłowości występujące w każdym okresie górnego sygnału. W przypadku dłuższych i bardziej złożonych sygnałów może to już nie być takie oczywiste, jak np. ortogonalność wszystkich sinusów na poniższym rysunku, których częstości są całkowitymi wielokrotnościami częstości podstawowej:

Zbiór ortogonalnych sinusów

\(f(x)=\sin(kx), k=1,2,\ldots\)

Energia sygnału

Matematycznie energia sygnału \(x\) to \(\langle x,x \rangle\) (czyli \(x\cdot x\), iloczyn skalarny sygnału "z samym sobą"). Dla sygnałów ciągłych \(\langle x(t), x(t) \rangle = \int |x(t)|^2 dt\), dla sygnałów dyskretnych \( \langle x[n], x[n] \rangle = \sum_n |x[n]|^2\). Fizycznie musimy wziąć pod uwagę wspomniane wcześniej stałą kalibracji i częstość próbkowania:

Jeśli sygnałem będzie prąd elektryczny o natężeniu \(i(t)\) mierzonym w amperach, płynący w obwodzie o oporności \(R\) omów, to wytracana przez niego energia wyniesie \(E_i = R \int |i(t)|^2 dt\) dżuli.

W przypadku sygnału dyskretnego \(x[t]\), całkę \(\int x(t) dt \) zastępujemy sumą pól kolejnych prostokątów o wysokości \(x[n]\) i szerokości równej odstępowi między kolejnymi punktami \(\Delta t = \frac{1}{f_s}\)

\(E_{x[n]} = \Delta t \sum_n |x(n)|^2 = \frac{1}{f_s} \sum_n |x(n)|^2 \)

Liczby zespolone

Przypomnijmy w skrócie: \(i^2=-1\). Liczbę zespoloną \(z\) możemy zapisać w postaci algebraicznej jako

\(z=a+bi,\)

gdzie \(a\) to część rzeczywista, \(b\) — część urojona.

Sprzężenie zespolone liczby \(z\) oznaczamy \(\overline{z}\):

\(\overline{z} = a - bi\)

a jej moduł to \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\) (inaczej \(|z| = z \cdot \overline{z}\)).

Postać trygonometryczna:

\(z = a + bi = |z| \cdot \dfrac{a}{|z|} + |z| \cdot \dfrac{b}{|z|}i = |z| \cdot (\cos \phi + i\sin \phi).\)

Wykorzystując wzór Eulera^[1]

\(e^{i\phi} = \cos(\phi) + i\sin(\phi)\)

możemy liczbę zespoloną zapisać jako

\(z = |z|e^{i\phi}\)

Szereg Fouriera

Sygnał okresowy (o okresie \(T\)) można przedstawić w postaci szeregu Fouriera:

\( s(t) =\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-i\frac{2\pi n}{T} t}, \)

gdzie

\( c_{n} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} s(t) e^{i \frac{2\pi n}{T} t} d t \)

Dowód powyższego wzoru:

Mnożymy obie strony równania 1 przez \(e^\frac{2\pi i k t}{T}\)

i całkujemy po \(dt\) od \(0\) do \(T\):

\( \int_0^T s(t) e^{{{2\pi i k t}\over{T}}} dt = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \int_0^T c_n e^{i{{2 \pi (k-n)}\over{T}} t}dt \)

Całki po prawej stronie znikają dla \(k \ne n\). Jedyny niezerowy wyraz dla \(k = n\) wynosi \(\int_0^T c_n dt\), czyli \(c_n T\) (bo \(e^0=1\)).

Każdą funkcję okresową możemy przedstawić w postaci sumy sinusów i kosinusów z odpowiednimi wagami — przypomnijmy: \(e^{i \phi} = \cos(\phi) + i \sin(\phi)\).

Wagi \(c_n\) możemy traktować jako względny udział odpowiadających im częstości.

Przykład: szereg Fouriera dla prostokąta

Policzmy postać współczynników Fouriera dla funkcji \(\Theta(t)\), określonej na przedziale \([0,1]\) w następujący sposób:

\( \Theta(t) = \left\{ \begin{matrix} 1 &, & t \in [0, \frac{1}{2})\\ 0 &, & t \in [ \frac{1}{2}, 1] \end{matrix} \right. \)

obliczenia:

Bezpośrednio z wzoru 2 dostajemy (dla \(T = 1\))

\(\begin{matrix} c_{n} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} \Theta(t) e^\frac{i 2\pi n t}{T} d t = \int_{0}^\frac{1}{2} e^{{{i 2\pi n t}}} d t = ( \mathrm{dla}\; n \ne 0 ) = \left [\frac{1}{i 2\pi n} e^{{i 2\pi n t}} \right ]_{t=0}^{t=\frac{1}{2}} \\ = \frac{1}{i 2\pi n} ( e^{i \pi n} - 1 ) = \left\{ \begin{matrix} 0 & \mathrm{dla}\; n = \pm2, \pm4, \ldots\\ i/\pi n & \mathrm{dla}\; n = \pm1, \pm3, \ldots \end{matrix} \right .\\ (\mathrm{dla}\; n=0) \;\; c_0 = \int_{0}^\frac{1}{2} 1 d t = \frac{1}{2} \end{matrix}\)

Tak więc z wzoru 1

\(\begin{matrix} \Theta(t) = \sum_{-\infty}^{\infty} c_n e^{-i 2 \pi t n} = \frac{1}{2}\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{i}{\pi n} e^{-i 2 \pi t n}= \\ = \frac{1}{2}\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{i}{\pi n} \left( \cos(2\pi n t) - i \sin( 2\pi n t) \right)=\\ = \frac{1}{2}\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{i}{\pi n} \cos(2\pi n t)\;\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{1}{\pi n} \sin( 2\pi n t) \end{matrix}\)

W sumie kosinusów wyrazy dla \(n\gt 0\) znoszą odpowiednie wyrazy dla \(-n\) (bo \(cos(-x)=cos(x)\)), w sumie sinusów wyrazy dla \(\pm n\) dodają się (bo \(sin(-x)=-sin(x)\))

Dostajemy

\( \displaystyle \Theta(t) = \frac{1}{2} + \frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin\left(2\pi (2n-1) t\right)}{(2n-1)} \)

Od góry, kolejno: funkcja \(\Theta\) (równanie 3) uzupełniona do funkcji okresowej, pierwszych 30 współczynników szeregu Fouriera, kwadraty współczynników szeregu Fouriera — dyskretne widmo, pierwszy wyraz rozwinięcia Fouriera, sumy pierwszych 10, 50, 500 i 5000 wyrazów rozwinięcia 4.
Jak widać, najtrudniejsza do wyrażenia z pomocą funkcji trygonometrycznych jest nieciągłość funkcji \(\theta(t)\) w punktach \(\left\{\pm \frac{k}{2}, k \in N \right\}\); niejednorodna zbieżność szeregów Fouriera w tych rejonach nosi nazwę efektu Gibbsa.

Przekształcenie Fouriera

Przejdźmy do nieskończoności z okresem sygnału: \(T\rightarrow\infty\). Wtedy odstęp \(\left(\frac{2\pi}{T}\right)\) między częstościami kolejnych elementów sumy szeregu Fouriera

\(\displaystyle s(t) =\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-i\frac{2\pi t}{T} n}, \)

dąży do \(0\) i suma przechodzi w całkę

\(\displaystyle s(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(f)e^{-i 2\pi t f} d f \)

funkcja \(\hat{s}(f)\), zastępująca dyskretny ciąg współczynników szeregu Fouriera

\(\displaystyle c_{n} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} s(t) e^\frac{2\pi i n t}{T} d t \)

to transformata Fouriera sygnału \(s(t)\), czyli wynik działania przekształcenia (transformacji) Fouriera \(\mathcal{F}\).

\(\displaystyle \mathcal{F}\left( s(t) \right) \equiv \hat{s}(f)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i 2\pi f t} d t \)

⬆  ⮕

↑ wzorem Eulera bywa również nazywane równanie \(e^{i\pi}+1=0\)

[1] wzorem Eulera bywa również nazywane równanie \(e^{i\pi}+1=0\)

[1]