Falki (wavelets)

AS/ Falki (wavelets)

Falka to funkcja \(\psi \in L^2(\mathbb{R})\) o zerowej średniej:

\( \int_{-\infty}^{\infty}\psi(t) dt = 0 \)

Aby spełnić ten warunek, niezerowa funkcja musi oscylować, choć niekoniecznie (wręcz raczej nie) w sposób okresowy, jak "duże" fale \(e^{ikt}\)—stąd nazwa.

Reprezentacja konstruowana jest ze "współczynników falkowych" — iloczynów skalarnych sygnału ze znormalizowanymi (\(\|\psi\|=1\)) funkcjami generowanymi jako przesunięcia i rozciągnięcia falki \(\psi\):

\( c_{s,u} = \langle s \psi_{s,u}\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} s(t) \psi (\frac{t-u}{s}) dt \)

Transformacja odwrotna istnieje, jeśli zbiór falek \(\left\{\psi_i\right\}_{i\in I}\) tworzy ramę (ang. frame ):

\( \forall_f \exists_{A\gt 0, B\lt \infty} A\|s\|^2 \le \sum_{i\in I} |\langle\psi_i, s\rangle|^2 \le B\|s\|^2 \)

Dopiero w latach 80. XX wieku udowodniono, że ze specjalnie dobranych falek można skonstruować ortogonalną bazę, jeśli kolejne skale \(s\) będą tworzyły sekwencję diadyczną, czyli \(s_n=2^ns_0\). Doprowadziło to do eksplozji zastosowań czasowo-częstościowych metod analizy sygnałów — nie tylko ze względu na cenione przez fizyków własności baz ortogonalnych, jak zachowanie energii reprezentacji czy prosta formuła rekonstrukcji, ale głównie dzięki powstaniu szybkich algorytmów obliczeniowych.

Podział przestrzeni czas-częstość dla wielorozdzielczej analizy falkowej.