AS/ Zasada nieoznaczoności
Zasada nieoznaczoności (Heisenberga) w mechanice kwantowej nie opisuje
granic dokładności pomiarów, lecz fakt, że cząstka "nie może
jednocześnie" mieć dobrze określonych np. pędu i położenia:
\(\Delta x \Delta p_x \geq h/2\pi\)[1], gdzie \(\Delta\)
odpowiada wariancji rozkładu prawdopodobieństwa wokół
średniej. Podobnie w analizie sygnałów.
Zasada nieoznaczoności czas-częstość
Iloczyn wariancji w czasie \(\sigma_t^2\) i w częstości
kołowej \(\sigma_\omega^2\) dla funkcji \(s\in
L^2(\mathbb{R})\) jest nie mniejszy niż \(\frac{1}{4}\)
\( \sigma^2_t \sigma^2_\omega \ge \frac{1}{4}
\)
gdzie:
\( \sigma^2_t = \frac{1}{\|s(t)\|^2} \int_{-\infty}^{\infty}(t-u)^2|s(t)|^2 dt
\)
\(
\sigma^2_\omega = \frac{1}{2\pi \|s(t)\|^2} \int_{-\infty}^{\infty}(\omega-\xi)^2|\hat{s}(\omega)|^2 d\omega
\)
gdzie:
\( u =
\frac{1}{\|s(t)\|^2} \int_{-\infty}^{\infty} t |s(t)|^2 dt
\) \( \xi = \frac{1}{2\pi\|s(t)\|^2}
\int_{-\infty}^{\infty} \omega |\hat{s}(\omega)|^2 d\omega
\)
Dla częstości \(f=\frac{1}{T}\) mamy
\(
\sigma^2_t \sigma^2_f \ge \frac{1}{16\pi^2}
\)
Długi sinus (na górze) ma dobrze określoną częstość, ale nie możemy wiele powiedzieć o jego położeniu w czasie (ciągła linia). Gdy zawężamy (określamy) przedział czasu, w którym sygnał występuje (dolne wykresy), coraz trudniej mówić o częstości
- ↑ stała Plancka
\(h\approx 10^{-34}\) J s.
