Twierdzenia o splocie i o próbkowaniu (aliasing)
Spis treści
AS/ Twierdzenie o splocie
Korelacja i splot
Przypomnijmy z wykładu z Wnioskowania: Korelacja jest miarą podobieństwa lub wzajemnej zależności. Jeśli mówimy, że występuje korelacja między wydajnością i ceną komputerów, to mamy na myśli stwierdzenie, że droższe komputery mają zwykle większą moc obliczeniową — im mniej przypadków przeciwnych, tym korelacja silniejsza.
Silna korelacja sygnałów \(x\) i \(y\) oznacza, że wzrostowi \(x\) towarzyszy najczęściej wzrost \(y\) \(\left( x_\nearrow\; \rightarrow y_\nearrow \right)\). Jeśli przeważa sytuacja odwrotna \(\left( x_\nearrow\; \rightarrow y_\searrow \right)\) mówimy o korelacji ujemnej.
Miarą współzmienności (kowariancji) dwóch sygnałów jest ich iloczyn. Przed obliczeniem tego iloczynu (w ogólnym przypadku mówimy o jego wartości oczekiwanej) od każdego z sygnałów warto odjąć wartość średnią:
\(
\sigma_{x y}=\int \left(x(t)-\bar{x}\right)\left(y(t)-\bar{y}\right) dt
\)
Dzięki temu w przypadku, gdy sygnały są od siebie niezależne,
\(\sigma_{x y}\) będzie bliska zeru — uniezależnia to miarę kowariancji
od wartości średnich sygnałów. Aby otrzymać wartości z przedziału \([ -1, 1 ]\)
wprowadzamy jako czynnik normalizacyjny wariancję sygnału:
\(
\sigma^2_s=\int\left( s(t)-\bar{s}\right)^2 dt
\)
Znormalizowaną w ten sposób kowariancję zwiemy korelacją:
\(
\mathrm{korelacja}_{x y} = \frac{\sigma_{x y}}{\sqrt{\sigma^2_x\sigma^2_y}}
\)
Może się zdarzyć, że dwa sygnały są bardzo podobne, tylko przesunięte
względem siebie w czasie. W wykryciu takiej sytuacji pomaga funkcja
korelacji wzajemnej, czyli korelacja dwóch sygnałów w funkcji
ich wzajemnego przesunięcia. Z kolei autokorelacja to miara korelacji
sygnału \(s(t)\) z jego kopią przesuniętą o \(\tau\). Pomijając normalizację
i odejmowanie średnich otrzymamy
\(
\sigma_{s, s}(\tau)=\int s(t) s(t+\tau) dt
\)
Funkcja autokorelacji będzie miała oczywiście maksimum w zerze, a istnienie
innych maksimów związane jest z występowaniem w sygnale okresowo
powtarzających się zjawisk. Twierdzenie Wienera-Chinczyna mówi wręcz,
że widmo mocy obliczać możemy jako transformatę Fouriera funkcji autokorelacji.
\(
\mathrm{corr}\left(x(t),y(t)\right) = \frac{\sigma^2_{x y}}{\sigma_x \sigma_y} =
\frac{\int (x(t)-\mu_x)( y(t)-\mu_y) dt }
{\sqrt{ \int (x(t)-\mu_x)^2 dt \int (y(t)-\mu_y)^2 dt }}
\)
lub
\(
\frac{\sum_i (x_i-\mu_x)(y_i-\mu_y)}
{\sqrt{\sum_j (x_j-\mu_x)^2 \sum_k (y_k-\mu_y)^2}}
\)
Rozważmy transformatę Fouriera funkcji korelacji sygnałów \(f\) i \(g\), dla uproszczenia pomijając normalizację:
\( \displaystyle
s(\tau)=\int f(t) g(t+\tau) dt
\)
\(\displaystyle
\hat{s}(\omega)=
\int e^{i\omega t} e^{-i\omega t} e^{-i\omega \tau} \left( \int f(t) g(t+\tau) dt \right) d\tau
\)
\(\displaystyle
=\int e^{-i\omega (t+\tau)} g(t+\tau)\; d\tau \int e^{i\omega t} f(t) \; dt
\)
Jak widać, operator korelacji odpowiada w przestrzeni transformat
Fouriera iloczynowi transformaty jednego sygnału ze sprzężeniem
zespolonym transformaty drugiego.
Twierdzenie o splocie
... czyli splot w przestrzeni czasu odpowiada iloczynowi w przestrzeni transformat Fouriera.
Jest to wynik wygodniejszy od wzoru (1), stąd filtrowanie realizowane jest właśnie z pomocą splotu, który jak widać z równania (1) jest korelacją z sygnałem o odwróconym kierunku czasu.
Dowód:
\(\displaystyle
\hat{s}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i \omega t} s(t) d t =
\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i \omega t}
f(u) g(t-u) \,d u \,d t
\)
\(\displaystyle
= \int_{-\infty}^{\infty} e^{- i \omega u} f(u) \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i \omega (t-u)}g(t-u) dt \right) du
\)
Całka w nawiasie przebiega od \(-\infty\) do \(\infty\), więc możemy zamienić \((t-u)\) na \(t\):
\(\displaystyle
= \int_{-\infty}^{\infty} e^{- i \omega u} f(u) \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{- i \omega t}g(t) dt \right) du =
\hat{f}(\omega) \hat{g}(\omega)
\)
Splot ma ponadto własność łączności, czyli \((f*g)*h = f*(g*h)\). Z definicji
\(\displaystyle
((f*g)*h)(u)
= \int_{-\infty}^{\infty} (f*g)(x) h(u-x)\,dx
\)
\(\displaystyle
= \int_{-\infty}^{\infty} \left[ \int_{-\infty}^{\infty} f(y) g(x-y)\,dy\right] h(u-x)\,dx
\)
\(\displaystyle
= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(y) g(x-y) h(u-x)\,dy\,dx.
\)
Zmieniamy kolejność całkowania na mocy twierdzenia Fubiniego:
\(\displaystyle
((f*g)*h)(u)
= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(y) g(x-y) h(u-x)\,dx\,dy
= \int_{-\infty}^{\infty} f(y) \left[\int_{-\infty}^{\infty} g(x-y) h(u-x)\,dx\right]\,dy.
\)
przyjrzyjmy się całce w nawiasie kwadratowym; całki są po \(\mathbb{R}\), więc na mocy niezmienności względem przesunięcia możemy przesunąć argument \(x\) o \(-y\) czyli \(x \rightarrow (x+y)\):
\(\displaystyle
\int_{-\infty}^\infty g(x-y) h(u-x)\,dx
= \int_{-\infty}^\infty g((x+y)-y) h(u-(x+y))\,dx
\)
\(\displaystyle
= \int_{-\infty}^{\infty} g(x) h((u-y)-x)\,dx = (g*h)(u-y).
\)
Tak więc pokazaliśmy, że
\(\displaystyle
((f*g)*h)(u) = \int_{-\infty}^{\infty} f(y)(g*h)(u-y)\,dy
= (f*(g*h))(u)\)
Twierdzenie o próbkowaniu
Twierdzenie o próbkowaniu, inaczej twierdzenie Nyquista-Shannona (czasem w skrócie twierdzenie Nyquista) mówi, że sygnał ciągły możemy odtworzyć z zapisanych próbek, jeśli częstość próbkowania \(f_s\) była wyższa niż dwukrotność najwyższej z występujących w sygnale częstości \(f_{max}\), nazywana częstością Nyquista \(f_N\):
\( f_s = \dfrac{1}{\Delta t} \gt 2* f_{max} = f_N\)
Jeśli częstość próbkowania nie była wystarczająco wysoka, nie tylko stracimy informację o zmianach amplitudy sygnału "pomiędzy próbkami", ale dojdzie też do zafałszowania sygnału w niższych częstościach, które z pozoru nie powinny być zaburzone. Efekt ten jest bliżej omówiony w rozdziale Aliasing.
