Szereg Fouriera
AS/ Szereg Fouriera
Sygnał okresowy (o okresie \(T\)) można przedstawić w postaci szeregu Fouriera:
gdzie
Dowód: mnożymy obie strony pierwszego równania przez \(e^\frac{2\pi i k t}{T}\) i całkujemy po \(dt\) od \(0\) do \(T\):
\( \displaystyle \int_0^T s(t) e^{{{2\pi i k t}\over{T}}} dt = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \int_0^T c_n e^{i{{2 \pi (k-n)}\over{T}} t}dt \)
Całki po prawej stronie znikają dla \(k \ne n\).
| znikanie całki \(\int_0^T e^{i{{2 \pi (k-n)}\over{T}} t}dt \) |
| niech \(m = k-n, m \ne 0, m \in \mathbb N\)
\(\displaystyle \int_0^T e^{i{{2 \pi m t}\over{T}} t}dt = \left[\frac{i T}{2 \pi m} e^{i \frac{2 \pi m t}{T} }\right]_0^T = \frac{i T}{2 \pi m} \big( e^{i 2 \pi m} - 1 \big) = \frac{i T}{2 \pi m} \big( \cos(2 m \pi) - i \sin(2 m \pi) - 1 \big) = \frac{i T}{2 \pi m} \big( 1 - i 0 - 1 \big) = 0 \) |
Jedyny niezerowy wyraz dla \(k = n\) wynosi \(\int_0^T c_n dt\), czyli \(c_n T\) (bo \(e^0=1\)), czyli
\( \displaystyle \int_0^T s(t) e^{{{2\pi i k t}\over{T}}} dt = c_n T \)
Oznacza to, że każdą funkcję okresową możemy przedstawić w postaci sumy sinusów i kosinusów (\(e^{i \phi} = \cos(\phi) + i \sin(\phi)\)) z odpowiednimi wagami. Wagi \(c_n\) możemy traktować jako względny udział odpowiadających im częstości.
Tożsamość Parsevala dla szeregów Fouriera
\( \displaystyle \frac{1}{T} \int_0^T \left| s(t) \right|^2 d t = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left| c_n \right|^2 \)
Dowód:
\( \displaystyle \frac{1}{T} \int_0^T \left| s(t) \right|^2 d t = \frac{1}{T} \int_0^T s(t) \overline{s(t)} \,d t \; = \)
\( \displaystyle \frac{1}{T} \int_0^T \left( \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-i\frac{2\pi t}{T} n} \right) \left( \sum_{m=-\infty}^{+\infty} \overline{c_m} e^{i\frac{2\pi t}{T} m} \right) d t = \)
\(
\left\| \; \int_0^T e^{-i\frac{2\pi t}{T} n} e^{i\frac{2\pi t}{T} m} dt= \int_0^T e^{-i\frac{2\pi t}{T} m-n} dt = \delta_{(m-n)} T \;\right\|\)
\( \displaystyle
= \sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n \overline{c_n} \;\;= \sum_{n = -\infty}^{\infty} |c_n|^2
\)
Energia, moc, widmo
Jeśli sygnałem będzie np. prąd elektryczny, płynący w obwodzie o jednostkowej oporności w czasie od \(0\) do \(T\), to wytracona przez niego energia wyniesie \(\int_0^T s(t)^2 d t\). Moc to oczywiście energia wytracana w jednostce czasu, czyli \(\frac{1}{T}\int_{0}^{T} | s(t) |^2 d t\). Jak widać z powyższego twierdzenia, dla sygnałów okresowych możemy ją również obliczać jako sumę kwadratów współczynników szeregu Fouriera \(\sum c_n^2\). Pozwala to interpretować \(c_n^2\) jako moc, niesioną przez odpowiadającą mu częstość. Wykres tej wielkości w zależności od częstości nazywamy widmem mocy sygnału. Dla sygnału okresowego widmo mocy będzie dyskretne (patrz rysunek 1).
Wszystko to nie tyczy się li tylko sygnałów czysto okresowych; z sygnału nie-okresowego \(s(t)\), określonego na skończonym przedziale \([0, T]\), możemy utworzyć sygnał okresowy \(s_T(t)\):
tożsamy z \(s(t)\) w przedziale \([0, T]\), który można już przedstawić w postaci sumy 1.
| Rozwinięcie prostokąta w szereg Fouriera |
| Policzmy postać współczynników Fouriera dla funkcji \(\Theta(t)\), określonej na przedziale \([0,1]\):
\(
\Theta(t) = \left\{
\begin{matrix}
1 &, & t \in [0, \frac{1}{2})\\
0 &, & t \in [ \frac{1}{2}, 1]
\end{matrix}
\right.
\)
Bezpośrednio z wzoru 2 dostajemy (dla \(T = 1\)) \(\displaystyle
c_{n} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} \Theta(t) e^\frac{i 2\pi n t}{T} d t
= \int_{0}^\frac{1}{2} e^{{{i 2\pi n t}}} d t \\
( \mathrm{dla}\; n \ne 0 ) =
c_n = \left [\frac{1}{i 2\pi n} e^{{i 2\pi n t}} \right ]_{t=0}^{t=\frac{1}{2}}
= \frac{1}{i 2\pi n} ( e^{i \pi n} - 1 ) =
\left\{
\begin{matrix}
0 & \mathrm{dla}\; n = \pm2, \pm4, \ldots\\
i/\pi n & \mathrm{dla}\; n = \pm1, \pm3, \ldots
\end{matrix}
\right .\\
(\mathrm{dla}\; n=0) \;\; c_0 = \int_{0}^\frac{1}{2} 1 d t = \frac{1}{2}
\)
Tak więc z wzoru 1 \(\displaystyle \Theta(t) = \sum_{-\infty}^{\infty} c_n e^{-i 2 \pi t n} = \frac{1}{2}\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{i}{\pi n} e^{-i 2 \pi t n}= \\ \displaystyle = \frac{1}{2}\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{i}{\pi n} \left( \cos(2\pi n t) - i \sin( 2\pi n t) \right)=\\\displaystyle = \frac{1}{2}\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{i}{\pi n} \cos(2\pi n t)\;\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{1}{\pi n} \sin( 2\pi n t) \)
W sumie kosinusów wyrazy dla \(n\gt 0\) znoszą odpowiednie wyrazy dla \(-n\) (bo \(cos(-x)=cos(x)\)), w sumie sinusów wyrazy dla \(\pm n\) dodają się (bo \(sin(-x)=-sin(x)\)), dając w efekcie \(\displaystyle
\Theta(t) = \frac{1}{2} + \frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin\left(2\pi (2n-1) t\right)}{(2n-1)}
\)
|
