Przekształcenie Fouriera

Spis treści

1 ⬆ Przekształcenie Fouriera

⬆ Przekształcenie Fouriera

A jeśli sygnał nie jest ściśle okresowy? Jeśli pewne struktury powtarzają się, ale nie na tyle dokładnie by spełnić matematyczny wymóg okresowości \(\forall t \, s(t + T) = s(t)\)?

Przejdźmy do nieskończoności z okresem sygnału: \(T\rightarrow\infty\). Wtedy odstęp \(\left(\frac{2\pi}{T}\right)\) między częstościami kolejnych elementów sumy z wyprowadzonego w poprzednim rozdziale wzoru na szereg Fouriera

\( \displaystyle s(t) =\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-i\frac{2\pi t}{T} n}, \)

dąży do \(0\) i suma przechodzi w całkę

\( \mathbf{(IFT)} \qquad \displaystyle s(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(f)e^{-i 2\pi t f} d f \)

funkcja \(\hat{s}(f)\), zastępująca dyskretny ciąg współczynników szeregu Fouriera

\(\displaystyle c_{n} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} s(t) e^\frac{2\pi i n t}{T} d t \)

to transformata Fouriera sygnału \(s(t)\), czyli wynik działania przekształcenia (transformacji) Fouriera \(ℱ\).

\( \mathbf{(FT)} \qquad \displaystyle ℱ\left( s(t) \right) \equiv \hat{s}(f)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i 2\pi f t} d t \)

Transformata Fouriera jest zespoloną funkcją częstości — jak widać ze wzoru (IFT), jest to operacja odwracalna.

Moduł transformaty Fouriera dla danej częstości \(f\) opisuje jej "zawartość" w sygnale, a faza odpowiada za "składanie" poszczególnych częstości w sygnał.

Tożsamość Parsevala dla całek Fouriera

\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} | s(t) |^2 d t = \int_{-\infty}^{\infty} | \hat{s}( f ) |^2 d f \)

Dowód:

\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} | s(t) |^2 d t = \int_{-\infty}^{\infty} s(t) \overline{s(t)} dt = \int_{-\infty}^{\infty} s(t) \left( \int_{-\infty}^{\infty} \overline{ \hat{s}(f)} e^{i 2\pi t f} d f \right) dt = \)

\(\displaystyle = \int_{-\infty}^{\infty} \overline{ \hat{s}(f)} \left( \int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i 2\pi t f} d t \right) df = \int_{-\infty}^{\infty} \overline{ \hat{s}(f)} \hat{s}(f) d f = \int_{-\infty}^{\infty} | \hat{s}(f) |^2 d f \)

Przy przejściu do drugiej linii zamieniono kolejność całkowania według Twierdzenia Fubiniego

Niech \(g:[a,b]\times [c,d]\longrightarrow {\mathbb R}\) — funkcja ciągła. Wówczas

\(\displaystyle \int\limits_a^b\left(\int\limits_c^d g(x,y)\,dy\right)\,dx=\int\limits_c^d\left(\int\limits_a^b g(x,y)\,dx\right)\,dy=\int\limits_{[a,b]\times [c,d]} g(x,y)\,dx dy\).

Konwencje zapisu przekształcenia Fouriera

Szczególna postać wzorów (FT) i (IFT) wynika z przyjęcia konwencji wyrażania częstości jako odwrotności czasu: \(f = \frac{1}{T}\) (w hercach). Dowolność pozostaje w umieszczeniu minusa w wykładniku — we wzorze na transformatę odwrotną (IFT) lub we wzorze (FT). Z kolei przyjęcie częstości kołowej \(\omega = \frac{2\pi}{T}\) (w radianach) przenosi czynnik \(2\pi\) (konkretnie jego odwrotność) z wykładnika przed całkę. Stąd różnorodność możliwych par wzorów:

\( s(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(f)e^{-i 2\pi t f} d f \rightarrow \hat{s}(f)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i 2\pi f t} d t \)

\( s(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(f)e^{i 2\pi t f} d f \rightarrow \hat{s}(f)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{-i 2\pi f t} d t \)

\( s(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(\omega)e^{i \omega t} d \omega \rightarrow \hat{s}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{-i \omega t} d t \)

\( s(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(\omega)e^{-i \omega t} d \omega \rightarrow \hat{s}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i \omega t} d t \)

\( s(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(\omega)e^{-i \omega t} d \omega \rightarrow \hat{s}(\omega)={1\over{\sqrt{2\pi}}}\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i \omega t} d t \)

\( s(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(\omega)e^{i \omega t} d \omega \rightarrow \hat{s}(\omega)={1\over{\sqrt{2\pi}}}\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{-i \omega t} d t \)

Przyjmujemy wywodzącą się z matematyki konwencję dodatniego wykładnika we wzorze na transformację (FT) i ujemnego we wzorze na transformację odwrotną (IFT); ewentualne stosowanie częstości kołowej można odróżnić po użyciu symbolu \(\omega\) jako argumentu transformaty. W zastosowaniach inżynierskich przeważa konwencja ujemnego wykładnika we wzorze na transformację.

Symetrie i własności Transformaty Fouriera

*Symetrie transformat Fouriera, \(\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f\)*
jeśli sygnał \(s(t)\) jest\(\ldots\)	to \(ℱ s(t) \equiv \hat{s}(\omega)\ \ldots\)
parzysty (\(s(t)=s(-t)\))	parzysta
nieparzysty (\(s(t)=-s(-t)\))	nieparzysta
rzeczywisty	\( \hat{s}(-\omega) = \overline{\hat{s}(\omega})\)
urojony	\(\hat{s}(-\omega) = -\overline{\hat{s}(\omega})\)
rzeczywisty i parzysty	rzeczywista i parzysta
rzeczywisty i nieparzysty	urojona i nieparzysta
urojony i parzysty	urojona i parzysta
urojony i nieparzysty	rzeczywista i nieparzysta

*Skalowanie i przesunięcie transformat Fouriera*
skalowanie w czasie:	\(s(a t)\) & \(\stackrel{ℱ}{\Longrightarrow}\) \(\frac{1}{\|a\|} \hat{s}(\frac{f}{a})\)
skalowanie w częstości:	\(\frac{1}{\|a\|} s(\frac{t}{a})\) \(\stackrel{ℱ}{\Longrightarrow}\) \(\hat{s}(a f)\)
przesunięcie w czasie:	\(s(t - t_0)\) \(\stackrel{ℱ}{\Longrightarrow}\) \(\hat{s}(f) \;e^{2 \pi i f t_0}\)
przesunięcie w częstości:	\(s(t) \;e^{- 2 \pi i f_0 t}\) \(\stackrel{ℱ}{\Longrightarrow}\) \(\hat{s}(f - f_0)\)

Powyższe wzory wyprowadzić można bezpośrednio z równań (FT) i (IFT), np.:

\( \mathbf{(FT)} \qquad \displaystyle ℱ\left( s(t) \right) \equiv \hat{s}(f)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i 2\pi f t} d t \)

\( \displaystyle ℱ\left( s(t-t_0) \right)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t-t_0)e^{i \omega (t-t_0)} d t = e^{-i \omega t_0} \int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i \omega t} d t \)

⬅ ⬆ ⮕