AS/ Model autoregresyjny (AR)

Model autoregresyjny (rzędu \(M\)) opisuje procesy dyskretne, w których wartość sygnału w danej chwili jest sumą liniowej kombinacji \(M\) wartości poprzednich i nieskorelowanego szumu \(\epsilon\)

\( \displaystyle s[n] = \sum_{i=1}^M a_i s[n-i] + \epsilon[n] \)

W każdej realizacji tego samego procesu (dla tych samych współczynników \(a_i\) i wartości początkowych sygnału), \(\epsilon_t\) są niezależnymi liczbami losowymi, więc o wartości \(s(t)\) w konkretnej chwili \(t\) możemy mówić tylko językiem prawdopodobieństwa.

Trzy przykładowe realizacje procesu AR 3-go rzędu (\(M=3\)) o tych samych współczynnikach i wartościach początkowych.

Mimo tego, na podstawie współczynników AR możemy określić wiele ogólnych własności sygnału, np. wartość oczekiwaną \(\bar{s}\) (w praktyce estymowaną przez wartość średnią) i wariancję (jej estymatorem jest suma kwadratów odchyleń wartości sygnału od wartości oczekiwanej), a nawet widmo mocy. Można również rozważać szersze klasy modeli tego typu, jak np. model MA (ruchomej średniej, ang. moving average), gdzie uśredniamy \(\epsilon_t\) zamiast \(s(t)\), czy proces mieszany ARMA, opisany między innymi w klasycznych pozycjach „Analizie szeregów czasowych”, autorstwa Boxa i Jenkinsa oraz w „Metodach analizy szeregów czasowych” autorstwa Piersola i Bendata.

AR(1)

Najprostszym przykładem jest proces AR pierwszego rzędu (nazywany łańcuchem Markowa), w którym wartość w danej chwili zależy wyłącznie od wartości w chwili poprzedniej i szumu: \( s[n] = a s[n-1] + \epsilon_n \); podstawiając trzy kolejne wyrazy

\(s[n] = \epsilon_n + a s[n-1] \)

\(s[n-1] = \epsilon_{n-1} + a s[n-2] \)

\(s[n-2] = \epsilon_{n-2} + a s[n-3]\)

dostaniemy

\( s[n] = \)

\( \epsilon_n + a s[n-1] = \)

\( \epsilon_n + a \left( \epsilon_{n-1} + a s[n-2] \right) = \)

\( \epsilon_n + a \left( \epsilon_{n-1} + a (\epsilon_{n-2} + a s[n-3]) \right) = \)

\( \epsilon_n + a \epsilon_{n-1} + a^2 \epsilon_{n-2} + a^3 s[n-3] \)

W ogólnym przypadku \(N\) wyrazów będzie to suma

\( \displaystyle s[n] = \sum_{i=0}^{N-1} a^i \epsilon_{n-i} + a^N s[n-N] \)

Dla \(N \rightarrow \infty\) zależność od pierwszego elementu \(s[n-N]\) zanika i dostajemy asymptotyczną reprezentację

\( \displaystyle s[n] = \epsilon_n + a\epsilon_{n-1} + a^2\epsilon_{n-2} +\ldots = \sum_{i=0}^{\infty} a^i \epsilon_{n-i} \)

Jeśli wartość oczekiwana \(\epsilon_i\) wynosi 0 (\(E(\epsilon_i)=0\)) a wariancja \(\sigma^2(\epsilon_i)=\sigma_\epsilon^2\), to wariancja \(s[n]\) w punkcie \(n\)

\(\displaystyle \begin{matrix} \sigma^2_{s[n]} = E\left( (\epsilon_n + a\epsilon_{n-1} + a^2\epsilon_{n-2}+\ldots+a^{n-1}\epsilon_1)^2\right) =\\ \\ = \sigma_\epsilon^2 \left(1+a^2+a^4+\ldots+a^{2n-2} \right) = \left\{ \begin{matrix} \sigma_\epsilon^2 \left(\frac{1-a^{2n}}{1-a^2} \right) & |a|\ne 1\\ n \sigma_\epsilon^2 & |a|=1 \end{matrix} \right. \end{matrix}\)

bo

\( \sum_{k=1}^n b q^{k-1} = \left\{ \begin{matrix}b \frac{1 - q^n}{1 - q} \;\;\;\; \textrm{ dla }\;\;\;q\ne 1,\\ n b \;\;\;\;\;\;\;\;\; \textrm{ dla }\;\;\;\; q = 1. \end{matrix} \right. \)

Autokowariancja \(E(s[n] s[n+\tau])\)

\( \displaystyle \begin{matrix} E\left( (\epsilon_n + a\epsilon_{n-1} + a^2\epsilon_{n-2}+\ldots+a^{n-1}\epsilon_1) (\epsilon_{n+\tau} + a\epsilon_{n+\tau-1} +\ldots+a^{n+\tau-1}\epsilon_1)\right) =\\ \\ = \sigma_\epsilon^2 \left(a^\tau+a^{\tau+2}+\ldots+a^{\tau+2(n-1)} \right) = \left\{ \begin{matrix} \sigma_\epsilon^2 a^\tau \left(\frac{1-a^{2n}}{1-a^2} \right) & |a|\ne 1\\ n \sigma_\epsilon^2 & |a|=1 \end{matrix} \right. \end{matrix} \)

Dla \(|a|\ne 1\) przy \(n\rightarrow\infty\) \(\displaystyle \sigma^2_{x[n]} \stackrel{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow} \frac{\sigma^2_\epsilon}{1-a^2} \;\;\; ; \;\;\; \sigma_{x[n], x[n+\tau]} \stackrel{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow} \frac{\sigma^2_\epsilon a^\tau}{1-a^2} \)

Autokorelacja

\( \displaystyle \rho(\tau) = \frac{ \sigma_{x[n], x[n+\tau]} }{ \sigma^2_{x[n]} } \stackrel{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow} a^{|\tau|} \)

Proces jest asymptotycznie stacjonarny do rzędu 2, czyli wariancja i średnia nie zależą od czasu.

Dla \(a=1\) proces ten obrazuje tzw. błądzenie przypadkowe.

Na podstawie znajomości samego współczynnika \(a\) modelu AR(1) policzyliśmy np. funkcję autokorelacji modelu, co daje już znajomość widma procesu (z przytoczonego poniżej twierdzenia Wienera-Chinczyna). Podobnie w procesach wyższych rzędów (1) znajomość współczynników \(\{a_i\}_{i=1..M}\) daje nam dokładną wiedzę o własnościach generowanych przez nie procesów, bez znajomości sygnału \(s[n]\), którego wartości mogą różnić się w kolejnych realizacjach ze względu na element stochastyczny — szum \(\epsilon\).

W praktyce analizy sygnału postępujemy odwrotnie — do konkretnej realizacji dopasowujemy model AR. Głównym problemem jest wybór rzędu modelu, estymacja współczynników \(a_i\) najlepiej pasujących do danego sygnału posiada stabilne rozwiązania.

Twierdzenie Wienera-Chinczyna

Transformata Fouriera funkcji autokorelacji jest równa kwadratowi modułu transformaty Fouriera.

Dowód

Kładąc \(f = g\) we wzorze na funkcję korelacji sygnałów f i g, dostajemy analogznie jak poprzednio

\( \displaystyle \mathcal{F} \left( \int_{-\infty}^{\infty} f(t) f(t+\tau) dt \right) = \)

\( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i\omega \tau} \left( \int_{-\infty}^{\infty} f(t) f(t+\tau) dt \right) d\tau = \)

\( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i\omega(t+\tau)} e^{i\omega t} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) f(t+\tau) dt d\tau = \)

\( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i\omega(t+\tau)} f(t+\tau) d\tau \int_{-\infty}^{\infty} e^{i\omega t} f(t) dt = \)

\( \displaystyle \hat{f}(\omega) \overline{\hat{f}(\omega)} = |\hat{f}(\omega)|^2 \)

Estymacja współczynników AR i kryterium Akaike'go

Najtrudniejszym krokiem w estymacji współczynników modelu AR jest wybór rzędu \(M\), czyli pamięci modelu. Pomagają w tym kryteria, których przykładem jest Akaike Information Criterion AIC:

\(\displaystyle \mathrm{AIC}(M)= \frac{2M}{N} + \ln(\sigma^2_{\epsilon}) \)

gdzie \(N\) - liczba próbek sygnału, \(M\) — rząd modelu. Kryterium to karze za zwiększanie liczby parametrów i nagradza za zmniejszanie niewytłumaczonej wariancji.

Parametryczna estymacja widma mocy sygnałów

Pokazaliśmy powyżej (na przykładzie błądzenia przypadkowego), że znając współczynniki (parametry) modelu AR możemy z nich wyliczyć funkcję autokorelacji odpowiadającego im procesu, bez znajomości konkretnej realizacji sygnału. Z kolei z funkcji autokorelacji możemy z pomocą powyższego twierdzenia obliczyć widmo. To widmo będzie wyliczone a nie estymowane, ale nie odnosi się bezpośrednio do sygnału, od którego zaczynaliśmy, tylko do procesu opisanego wyestymowanymi parametrami modelu AR.

Ogólnie w statystyce mówimy o:

• estymacji parametrycznej jako znajdowaniu nieznanych wartości parametrów rozkładu, oraz
• estymacji nieparametrycznej jako metodzie znajdowania postaci rozkładu populacji (analogicznie do testów nieparametrycznych).

Na przykład dla stu obserwacji, co do których zakładamy, że pochodzą z rozkładu normalnego, możemy znaleźć średnią i wariancję (parametry rozkładu) i na tej podstawie estymować prawdopodobieństwo w dowolnym przedziale. Jeśli nie chcemy zakładać postaci rozkładu, nieparametryczną estymatą n-tego percentyla będzie największy z pierwszych n wyników (dla próby o liczności 100).

⬅ ⬆ ⮕