Aliasing
Spis treści
AS/ Przekształcenie Fouriera sygnałów dyskretnych, aliasing
Próbkowanie odwrotnej transformaty Fouriera
Przypomnijmy wzór na odwrotną transformację Fouriera sygnału ciągłego \( s(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(f)e^{-i 2\pi t f} d f \)
Dyskretne wartości tego sygnału, próbkowane w chwilach \(n \Delta t\), możemy odtworzyć z powyższgo równania dla \(t = n \Delta t\)
\( \sum_{r=-\infty}^\infty \int_\frac{(2r - 1)}{2\Delta t}^\frac{(2r + 1) }{2\Delta t} \hat{s}(f)e^{-i 2\pi n \Delta t f} d f \;\; \stackrel{f \rightarrow f+\frac{r}{\Delta t}}{=} \;\; \) \( \sum_{r=-\infty}^\infty \int_\frac{-1}{2\Delta t}^\frac{1}{2\Delta t} \hat{s}\left(f + \frac{r}{\Delta t}\right)e^{-i 2\pi n \Delta t (f + \frac{r}{\Delta t})} d f \)
\( = \int_\frac{-1}{2\Delta t}^\frac{1}{2\Delta t} \sum_{r=-\infty}^\infty \hat{s}\left(f + \frac{r}{\Delta t}\right)e^{-i 2\pi n \Delta t f} d f \)Szukając wartości sygnału w dyskretnych chwilach czasu, dostaliśmy w miejsce odwrotnej transformaty Fouriera całkę w ograniczonym zakresie z funkcji będącej (nieskończoną) sumą powtórzeń transformaty Fouriera sygnału ciągłego, przesuwanej o wielokrotności odwrotności \(\Delta t\).
Splot z grzebieniem Diraca
Innym sposobem pokazania powyższego efektu jest przedstawienie sekwencji dyskretnej \(s[n]\) jako iloczynu sygnału ciągłego \(s(t)\) z grzebieniem Diraca
\( D(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t-k\Delta t) \)
Policzmy transformatę Fouriera grzebienia Diraca \(\hat{D}(t)\):
\( \hat{D}(f) = \mathcal{F}(D(t)) = \mathcal{F}\left(\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t-k\Delta t) \right) = \int_{-\infty}^{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t-k\Delta t) e^{i 2\pi f t} dt = \) \( \sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t-k\Delta t) e^{i 2\pi f t} dt = \sum_{k=-\infty}^{\infty} e^{i 2\pi f k\Delta t} \)
Zgodnie z twierdzeniem o splocie, iloczyn sygnału z grzebieniem Diraca w przestrzeni czasu będzie odpowiadał w dziedzinie częstości, splotowi transformaty Fouriers sygnału \(\hat{s}(t)\) z wyliczoną powyżej transformatę Fouriera grzebienia Diraca, będącą jak widać grzebieniem Diraca w przestrzeni częstości.
Przypomnijmy (np. z rozważań o systemach liniowych niezmienniczych w czasie), że splot z deltą Diraca w zerze jest identycznością, a splot z \(\delta(t-kT)\) przesuwa funkcję o \(kT\). Z liniowości splotu dostajemy sumę powtórzeń transformaty Fouriera sygnału ciągłego, przesuwanej o wielokrotności odwrotności \(\Delta t\).
Poniższe rysunki z [Wikipedii] ilustrują ten efekt dla przypadku próbkowania z częstością większą i mniejszą od częstości Nyquista:
Kolejny przykład ilustruje aliasing w dziedzinie czasu:
AS/ Twierdzenie o próbkowaniu
Twierdzenie o próbkowaniu odpowiada na kluczowe pytanie, które winniśmy postawić decydując się na pracę z dyskretnymi (próbkowanymi) wersjami sygnałów ciągłych z natury.
Twierdzenie o próbkowaniu
Sygnał ciągły \(s(t)\) możemy odtworzyć z wektora jego wartości w dyskretnych chwilach czasu \( n \Delta t\), jeśli nie było w nim częstości wyższych niż \(\frac{1}{2\, \Delta t}\).
Dowód
Dla uproszczenia przyjmijmy \(\Delta t = 1\). Wtedy \(\hat{s}(f)\), czyli transformata Fouriera sygnału \(s(t)\), będzie niezerowa co najwyżej pomiędzy \(-\frac{1}{2}\) a \(\frac{1}{2}\).
Oznaczmy \(u(f)\) funkcję o okresie \(1\), tożsamą z \(\hat{s}(f)\) na przedziale \( \left [ -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right ] \).
Przedstawia ją szereg Fouriera:
\(u(f) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-2 \pi i f n}\)
Współczynniki \( c_n \) tego rozwinięcia dane są wzorem:
\( c_{n} =\frac{1}{1} \int_{0}^{1} u(f) e^{{2\pi i n f}} d f = \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \hat{s}(f)e^{{2\pi i n f}} d f = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{s}(f) e^{{2\pi i n f}} d f = s(n) \)
Współczynniki \(c_n\), dane przez wartości sygnału \(s\) w punktach próbkowania, jednoznacznie określają funkcję \(u(f)\), ta z kolei zawiera w sobie \(\hat{s}(f)\) — transformatę Fouriera ciągłego sygnału \(s(t)\), czyli określa jednoznacznie również sam sygnał.
Znajdźmy explicite formułę rekonstrukcji:
\( s(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{s}(f) e^{-2\pi i f t } d f = \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \hat{s}(f) e^{-2\pi i f t } d f = \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \left ( \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-2\pi i f n} \right )e^{-2\pi i f t} df \) \( = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} s(n) e^{2 \pi i f n} e^{-2\pi i f t} df = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} s(n) \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} e^{2 \pi i f (n-t)} df \)
ponieważ
\( \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} e^{2 \pi i f (n-t)} df = \left[{\frac{1}{2\pi i (n-t)}} e^{2 \pi i f (n-t)} \right]_{f=-\frac{1}{2}}^{f=\frac{1}{2}} =\frac{\sin\left( \pi (n-t)\right)}{\pi(n-t)} \)
dostajemy
\( s(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} { {s(n)} } \frac{\sin\left(\pi (n-t)\right)}{\pi(n-t)} \)
Tak więc, jeśli spełnione jest główne założenie o ograniczonym paśmie sygnału ciągłego i odpowiednio dobranej częstości próbkowania, w procesie próbkowania nie tracimy informacji ani też nie wprowadzamy przekłamań, obliczając widmo (rozdział o aliasingu).
Twierdzenie o próbkowaniu w praktyce
W praktyce przed próbkowaniem sygnał jest zwykle filtrowany dolnoprzepustowym filtrem analogowym o częstości odcięcia poniżej częstości Nyquista.